3.2 克莱劳方程的探讨

通过参考椭球空间直角坐标系中椭球面法向量与以大地线弧长为参数的大地线主法线向量指向的一致性，可获得克莱劳恒等式。直角坐标系中椭球面方程（1）和椭球面法向量（2）如下：

                             (1)

                                                         (2)

以大地线弧长为参数的大地线主法线向量：

                                         (3) 

由空间直角坐标与大地坐标的微分关系：

                                                           (4)

经整理：及，此式即为克莱劳方程。式中：为大地线上点的所在纬度平行圈半径，为该点的大地线方位角，为大地线常数。克莱劳方程表明，在参考椭球上，大地线上各点的平行圈半径与大地线在该点大地方位角正弦的乘积为一个常数。基于此，首先由及大地反算出的计算大地线常数，随后在大地线内插计算过程中，每点前进方向的大地方位角便可求出。

一条大地线的大地线常数并非唯一，即同一条大地线对应两个常数。这是由大地线正、反方位角所引起的，如图1(a)所示，从走向时，大地方位角小于180度，；反之若取，则。因此在实现大地线内插中，需先指明大地线方向。在特殊情况下，当大地线与子午线完全重合时，；当大地线与赤道完全重合时，。

4 算例分析

根据上述大地线内插算法及其表达绘制的要求，选择VC++6.0作为程序测试环境，分别对如下两个算例进行了解算。

算例一、算例二给出了数据解算结果与大地线绘制图，计算过程是在1975国际参考椭球面上进行的，解算结果包括由已知点反算的大地方位角A12、反方位角A21、大地线长S、大地线每个内插点前进方向（大地线绘制方向，本文均采用P1至P2方向）的大地方位角Ai及大地坐标（Bi，Li）。大地线在椭球面上绘制表达中使用空间直角坐标较为方便，所以还需将每个内插点的大地坐标转换为同一系统下的空间大地直角坐标（Xi，Yi，Zi）。此外，椭球定向的详细过程见文献[7-11]，大地线上采用等间距（ds）内插，取ds为10km，解算结果见表1、表2，绘制图如图2所示。

算例一，正方位角A12为 340°26′49.712929″，大地线长S为8233.744892 km，内插点823个，各点的大地方位角在第四象限随纬度的增加而减小，减小的幅度却逐渐变大。

算例二，正方位角A12为25°20′44.600932″，大地线长S为12561.938626 km，内插点1256个。从表2中可知，南半球各内插点的大地方位角随着P1点向赤道圈的前进在变小，而平行圈半径趋大，389号点离赤道圈最近（其空间大地直角坐标中Z的绝对值最小），390号点刚过赤道圈，大地方位角Ai继而开始转为增加，平行圈半径开始减小。

表1 算例一解算结果

表2：算例二解算结果

从上述两个算例可以获知，大地线各内插点方位角的变化幅度在赤道圈处较小，越靠近两极其变化量越大；同时，在内插点大地方位角Ai和其平行圈半径的动态变化中，始终遵循克莱劳定理，这在大地问题解算以及将来椭球面数字地图的相关量算、绘制等分析与编辑的算法实现中，都具有极其重要的作用。

5 结束语

大地线是椭球面上两点间的最短连线，它是一条函数方程较为复杂的空间曲面曲线。在对大地线进行表达时，本文采取了用空间直线段对其逼近的形式。在算例中，由程序完成已知点间的Bessel大地反算、结合克莱劳方程与大地正算迭代计算各内插点大地坐标、以及由大地坐标向空间直角坐标转换的具体解算过程，并形成了大地线绘制图。

随着三维GIS技术的发展和推广，在表达大区域地理要素时，将会采用椭球面来表达空间数据，而大地线作为椭球面上的基本线元，在点、线、面、体四大类空间实体的表达中将会起到重要的作用。

参考文献

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[11] 施一民．现代大地控制测量[M]．北京：测绘出版社，2003．

Study on algorithm of expressing geodesic on ellipsoid surface

TANG Hong-tao1, WANG Wei2, BAO Chang-yan3, SUN Xing-hua4,YANG Yong-chong5

(1. Second Crust Monitoring and Application Center，CEA，Xi’an 710054，China；2. Tianjin StarGIS Information Engineering CO.，LTD，Tianjin 300384，China；3. 2nd Institute of Surveying & Mapping Qinghai Province， Xining 810001，China；4. Shanxi Provincial Transport Planning Design and Research Institute，Xi’an 710035，China；5. Department of Surveying engineering Xi'an University of Science and Technology，Xi’an 710054，China)

Abstract: Is the standard reference ellipsoid surface closest to the Earth's surface can be used mathematical methods of expression, the expression of surface objects based on the ellipsoid is the most suitable form of maps. Geodesic is the basic line segment on ellipsoid surface, in order to express regional geographical element on ellipsoid surface accurately, it need to be studied on algorithm for mapping geodesic. This paper applied idea for approximating spatial curve with spatial straight line, gave a method for actualizing geodesic interpolation and expressing with Bessel geodetic problem solution and Clairaut's theorem, and verified the correctness of the method with two examples.

Key words: Geodetic surveying technology; Ellipsoid surface digital / Electronic map; Geodesic; Clairaut's Theorem; Bessel Geodetic Solutio