计算两条共线的线段的交点：

对 于两条共线的线段，它们之间的位置关系有下图所示的几种情况。图(a)中两条线段没有交点；图 (b) 和 (d) 中两条线段有无穷焦点；图 (c) 中两条线段有一个交点。设line1是两条线段中较长的一条，line2是较短的一条，如果line1包含了line2的两个端点，则是图(d)的情况， 两线段有无穷交点；如果line1只包含line2的一个端点，那么如果line1的某个端点等于被line1包含的line2的那个端点，则是图(c) 的情况，这时两线段只有一个交点，否则就是图(b)的情况，两线段也是有无穷的交点；如果line1不包含line2的任何端点，则是图(a)的情况，这 时两线段没有交点。

计算线段或直线与线段的交点:

设一条线段为L0 = P1P2，另一条线段或直线为L1 = Q1Q2 ，要计算的就是L0和L1的交点。 1． 首先判断L0和L1是否相交（方法已在前文讨论过），如果不相交则没有交点，否则说明L0和L1一定有交点，下面就将L0和L1都看作直线来考虑。

2． 如果P1和P2横坐标相同，即L0平行于Y轴

a) 若L1也平行于Y轴，

i. 若P1的纵坐标和Q1的纵坐标相同，说明L0和L1共线，假如L1是直线的话他们有无穷的交点，假如L1是线段的话可用"计算两条共线线段的交点"的算法求他们的交点（该方法在前文已讨论过）； ii. 否则说明L0和L1平行，他们没有交点；

b) 若L1不平行于Y轴，则交点横坐标为P1的横坐标，代入到L1的直线方程中可以计算出交点纵坐标；

3． 如果P1和P2横坐标不同，但是Q1和Q2横坐标相同，即L1平行于Y轴，则交点横坐标为Q1的横坐标，代入到L0的直线方程中可以计算出交点纵坐标；

4． 如果P1和P2纵坐标相同，即L0平行于X轴

a) 若L1也平行于X轴，

i. 若P1的横坐标和Q1的横坐标相同，说明L0和L1共线，假如L1是直线的话他们有无穷的交点，假如L1是线段的话可用"计算两条共线线段的交点"的算法求他们的交点（该方法在前文已讨论过）； ii. 否则说明L0和L1平行，他们没有交点；

b) 若L1不平行于X轴，则交点纵坐标为P1的纵坐标，代入到L1的直线方程中可以计算出交点横坐标；

5． 如果P1和P2纵坐标不同，但是Q1和Q2纵坐标相同，即L1平行于X轴，则交点纵坐标为Q1的纵坐标，代入到L0的直线方程中可以计算出交点横坐标；

6． 剩下的情况就是L1和L0的斜率均存在且不为0的情况

a) 计算出L0的斜率K0，L1的斜率K1 ；

b) 如果K1 = K2

i. 如果Q1在L0上，则说明L0和L1共线，假如L1是直线的话有无穷交点，假如L1是线段的话可用"计算两条共线线段的交点"的算法求他们的交点（该方法 在前文已讨论过）； ii. 如果Q1不在L0上，则说明L0和L1平行，他们没有交点。 c) 联立两直线的方程组可以解出交点来 这个算法并不复杂，但是要分情况讨论清楚，尤其是当两条线段共线的情况需要单独考虑，所以在前文将求两条共线线段的算法单独写出来。另外，一开始就先利用 矢量叉乘判断线段与线段（或直线）是否相交，如果结果是相交，那么在后面就可以将线段全部看作直线来考虑。需要注意的是，我们可以将直线或线段方程改写为 ax+by+c=0的形式，这样一来上述过程的部分步骤可以合并，缩短了代码长度，但是由于先要求出参数，这种算法将花费更多的时间。

求线段或直线与折线、矩形、多边形的交点：

分别求与每条边的交点即可。

求线段或直线与圆的交点:

设圆心为O，圆半径为r，直线（或线段）L上的两点为P1,P2。

1. 如果L是线段且P1，P2都包含在圆O内，则没有交点；否则进行下一步。

2. 如果L平行于Y轴，

a) 计算圆心到L的距离dis； b) 如果dis > r 则L和圆没有交点； c) 利用勾股定理，可以求出两交点坐标，但要注意考虑L和圆的相切情况。 3. 如果L平行于X轴，做法与L平行于Y轴的情况类似；

4. 如果L既不平行X轴也不平行Y轴，可以求出L的斜率K，然后列出L的点斜式方程，和圆方程联立即可求解出L和圆的两个交点；

5. 如果L是线段，对于2，3，4中求出的交点还要分别判断是否属于该线段的范围内。

凸包的概念：

点集Q的凸包(convex hull)是指一个最小凸多边形，满足Q中的点或者在多边形边上或者在其内。下图中由红色线段表示的多边形就是点集Q={p0,p1,...p12}的凸包。

凸包的求法：

现在已经证明了凸包算法的时间复杂度下界是O(n*logn),但是当凸包的顶点数h也被考虑进去的话，Krikpatrick和Seidel的剪枝搜索 算法可以达到O(n*logh)，在渐进意义下达到最优。最常用的凸包算法是Graham扫描法和Jarvis步进法。本文只简单介绍一下Graham扫 描法，其正确性的证明和Jarvis步进法的过程大家可以参考《算法导论》。

对于一个有三个或以上点的点集Q，Graham扫描法的过程如下：

令p0为Q中Y-X坐标排序下最小的点 设<p1,p2,...pm>为对其余点按以p0为中心的极角逆时针排序所得的点集（如果有多个点有相同的极角，除了距p0最远的点外全部移除 压p0进栈S 压p1进栈S 压p2进栈S for i ← 3 to m do while 由S的栈顶元素的下一个元素、S的栈顶元素以及pi构成的折线段不拐向左侧 对S弹栈 压pi进栈S return S;

此过程执行后，栈S由底至顶的元素就是Q的凸包顶点按逆时针排列的点序列。需要注意的是，我们对点按极角逆时针排序时，并不需要真正求出极角，只需要求出任意两点的次序就可以了。而这个步骤可以用前述的矢量叉积性质实现。

四、结语

尽管人类对几何学的研究从古代起便没有中断过，但是具体到借助计算机来解决几何问题的研究，还只是停留在一个初级阶段，无论从应用领域还是发展前景来看，计算几何学都值得我们认真学习、加以运用，希望这篇文章能带你走进这个丰富多彩的世界。

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