1 概述

送变电施工过程中测量工作量大、繁琐，弧线测量是其中非常重要的一项工作，弧线测量指的是通过仪器测量挂点与挂点之间线长的几何特征值，根据一定的数学模型计算出挂点之间弧线的长度，若扣除两端耐张串的长度，即可得到中间导线的长度。

实际作业过程中，由于两电塔所处高程不一致，使得两个电塔顶端悬挂电线的挂点高程也不一致，且耐张串和电线的密度及力学性能都相差悬殊，使得电线在空中的几何模型难以确定，又由于电线细小，跨度大，常规手段难以测量弧线的长度。笔者在长期实践的基础上，探讨利用全站仪获取挂点的三维坐标，然后根据悬链线和抛物线的数学模型推算弧线长度的方法。随着激光测距技术的发展，全站仪免棱镜测距长度可达1000米以上，根据本文介绍的数学模型在编制全站仪机载程序，即可在现场实现单人操作，满足预先压接功能，尤其适用于站内构架间母线的施工。

2 数学模型

2.1 悬链线法

悬链线法是通过测量两个挂点的三维坐标，并输入相关参数，计算挂点间导线长度，需要的相关参数如下： 

λ——耐张串长度；

ω0——耐张串单位自重（N/m）

ω——导线单位自重（N/m）

f0——未考虑耐张串影响的架空线最大弧垂（即设计弧垂）

图1  弧线测量悬链线法示意图

令测量获得两个挂点的坐标为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)。首先根据下列式子计算档距、挂点高差和高差角[1]：

                                 （1）

                                        （2）

                     （3）

计算水平张力H:

                                 （4）

计算挂点两端连有耐张串时线长的增加系数K：

           （5）                        

 最后根据下式计算弧线长L：

                       （6）

2.2 抛物线法

弧线测量抛物线法的思想是：测量两端挂点，如图2所示的A点和B点，输入设计弧垂，这里的指的是弧线最低点到与直线AB交点的距离。把两挂点A、B之间的弧线看成是抛物线，求出其长度，然后用减去两边的耐张串长度λ，便得到中间导线长度L，即：

                          （7）

               图2 弧线测量抛物线法示意图

测量时以第一个挂点A为原点，A点至B点的连线在水平方向的投影为X轴，Z轴向上建立坐标系[2]。测量两个挂点A、B的坐标为，。则该抛物线方程可设为：

                                    （8）

式中二次项系数a大于0，把挂点B的坐标代入得：

                                  （9）

直线AB的方程为：

                                  （10）

点C为抛物线的最低点，其坐标为，其到直线AB的距离为：

                                （11）

直线AB倾斜角的余弦值为：

                                    （12）

在图2中由几何关系可知：

                                （13）

联立（11）式和（13）式得到：

                      （14）

  化简后得： 

                                    （15）

由式（9）知：

                                  （16）

若式（15）中，则将式（16）代入得：

                   （17）

化简整理得：

                             （18）

其解为：

                （19）

若式（15）中，可得到如下方程：

                                （20）

化简整理得：

                          （21）

其解为：

                  （22）

b的值求出后代入式（16）中求a。b的值理论上只有一个正确的值，根据以下条件确定b的值：

 1）式（19）和（22）中根号下的值应该大于0，否则舍去；

 2）a的值应该大于0，否则舍去；

 3）b的值应该小于0，否则舍去；

根据上述条件求出a和b的值后，求过点A和B抛物线的长度Lo，根据微积分知识得：

                                                                                 （23）

根据下式求出两挂点间导线的长度：

                                          （24）

3 程序设计

笔者采用C#.net 2005语言开发了一套送变电施工测量软件[3][4]，其弧长测量的实现即采用了上述方法，主要界面如下图所示。

图3弧线测量机载程序界面

悬链线法主要代码如下：

double l=Math.Sqrt((PtA.x-PtB.x)*(PtA.x-PtB.x) +(PtA.y-PtB.y)*(PtA.y-PtB.y));//计算档距

double h=Math.Abs(PtA.z-PtB.z);   //计算挂点高差；

double sinangle=h/Math.Sqrt((PtA.x-PtB.x)*(PtA.x-PtB.x) +(PtA.y-PtB.y)*(PtA.y-PtB.y)+ (PtA.z-PtB.z)*(PtA.z-PtB.z));    //计算高差角的正弦值

double H=(l*h*w)/(8*fo*sinangle);    //计算水平张力

double K=1+12*(wo/w-1)*(mumda*numda)/(l*l)+8*(wo/w-1)* (wo/w-2)* (mumda*numda*numda)/(l*l*l);

//计算增加系数;

double cosangle=Math.Saqrt(1-sinangle*sinangle);  //计算高差角的余弦值

double L=l/cosangle+(l*l*l*w*w*cosangle*K)/(24*H*H);  //计算弧长

抛物线法程序设计主要思路及代码如下：

令A、B两个挂点观测得到的原始三维坐标值为（xA,yA,zA）和（xB,yB,zB），则根据空间解析几何知识知坐标转换后挂点A的三维坐标值均为0,挂点B的x坐标为：

                       （25）

采用式（16）、（19）和（22）计算出参数a和b的可能取值，并通过if条件语句确定a和b最终的取值。计算弧长L的代码如下:

double L=((2*a*x2+b)*Math.Sqrt(1+(2*a*x2+b)*(2*a*x2+b))+Math.Log((2*a*x2+b+Math.Sqrt(1+ (2*a*x2+b)(2*a*x2+b)),Math.E)-b*Math>Sqrt(1+b*b)-Math.Log((b+Math.Sqrt(1+b*b)),Math.E))/(4*a)-2*numda;

4 结语

通过文中所述方法使用全站仪机载程序进行弧线长度测量可明显提高外业效率，且一个人即可操作，安全性高，结果实时显示。经过外业现场试验，测量电线弧长的精度与下列因素有关：

（1）外界环境：外界环境（如温度、气压、湿度等）对全站仪的测量精度有着微小的影响，基本满足弧线测量精度的要求，可以忽略不计。

（2）仪器性能：通过对几种不同品牌的全站仪进行免棱镜测距对比，其测程差距很大，如索佳Net05免棱镜全站仪测程仅有100多米，而拓普康GPT9000全站仪免棱镜最大测程可达1000多米。 进行弧线测量时，测站离测点往往较远，可使用拓普康、徕卡等型号全站仪进行测量。

（3）测点的材质和几何尺寸：不同材质和几何尺寸的电线对激光的反射率也不相同，若电线太细或反射率太高，不仅瞄准需要花费更多的时间，其精度也会降低。

参考文献

[1] 胡清林等.解析几何学[M].北京，电子科技大学出版社，2002.

[2] 王超，潘杨，张维维.Visual C#通用范例开发金典[M].北京，电子工业出版社，2008.

[3] 王智，潘国荣．基于C#的空间任意角度直角坐标转换程序的设计与实现[J]．测绘通报．2009年增刊：59-61.

[4] 孔宁，王智，潘国荣．利用方向余弦建立工业测量坐标系的一种方法[J]．工程勘察．2010，38(7)：80-83.