本文则是在分析了灰色模型和时间序列分析模型的基础上，将时间序列分析模型与灰色模型相结合，建立多因素时间序列的灰色模型，并用于高层建筑物的沉降预测。

2 多因素时间序列的灰色模型

2.1 灰色模型

灰色系统理论[11]是我国邓聚龙教授于1982年提出的，它可以根据少量信息进行建模和预测。由于在实际应用中，数据矩阵中的数据元素大多是由观测和计算获取的，因而不可避免地带有一定的误差。而正是这些误差，使得建立GM(1.N)模型时，可能会出现数据矩阵严重漂移的情形，即严重的病态性问题[12-13]。这种病态性源自模型本身，因而很难克服。但经过严格的数学推导发现，最常用的灰色模型GM(1.1)中一般情况下不存在病态性问题[13]。基于此，建立灰色模型GM(1.1)，其具体建立方法如下：

假定一非负离散数列，其中n为序列长度。对进行一次累加生成I-AGO序列：

                          （1）

对序列建立一个一阶微分方程：

                                （2）

式中，a为发展系数；u为灰色作用量。（2）式即为灰色模型GM(1.1)。

根据最小二乘法，求解GM(1.1)中的参数向量为：

                           （3）

式中，，。

    求解式（2）的微分方程，得到的预测公式：

                             （4）

     对作累减，可得的预测数列： 

                          （5）

2.2 时间序列分析模型

时间序列分析是20世纪20年代后期开始出现的一种现代数据处理方法，是一种动态的数据处理方法[14]。时间序列指的是一系列随时间变化且相互关联的数学序列。时间序列分析则是通过研究数据的内在规律，利用过去已有的资料预测未来的变化趋势[15]。时间序列分析的基本思想是定义一时间序列，当的取值不仅与其前n步的各个取值相关，且还与前m步的各个干扰相关，其中，则可根据多元线性回归的思想，得到自回归滑动平均模型（Auto-Regressive Moving Average Model，ARMA模型）[14]：

         （6）

式中，为自回归参数；为滑动平均参数；为白噪声序列，且。

当时，ARMA模型可简化为：

                                                     （7）

式（7）可称为n阶自回归模型，记为AR(n)。当时，ARMA模型可简化为：

                        （8）

式（8）可称为m阶滑动平均模型，记为MA(m)。

3 工程应用实例

“XX花园”项目是昆明市某地产项目，该项目由12栋高层建筑物组成。为了保障这些高层建筑在施工中的质量安全，依照国家建设部对大型建筑物建设工程实施变形监测的有关规定对“XX花园”项目的高层建筑开展沉降监测。

3.1 变形监测网的设计

3.1.1技术路线及设备

项目主要测量内容是对建筑物沉降进行监测，根据任务情况，按照“采用相同观测方法及观测路线、使用同一测量仪器、固定观测人员”的要求开展作业，以建立的沉降观测基准点为起算，按垂直位移监测三等的要求，对观测点进行沉降观测。按照项目实际情况，采用Leica DNA03型精密水准仪，因瓦水准尺。

3.1.2监测周期设计

按照项目实际情况，基准点每三个月复测1次；按照规范要求，该项目从开始，建筑物每增加一层观测一次，结构封顶至竣工期间，每周观测一次，建筑物竣工后每两个月观测一次，周期为12个月。

3.1.3沉降监测点位设计

项目在地块周围小区的稳固墙角处布设了3个基准点（JT01，JT02，JT03），而沉降观测点点位则设置在高层建筑的四角外部承重墙处。由于项目监测了12栋高层建筑的沉降，为了便于分析，以1栋为研究对象，其监测点（1T1、1T2、1T3、1T4、1T5、1T6）布设如图1所示。

图1 沉降监测布设点

Fig.1 Layout points of subsidence monitoring

3.2 多因素时间序列的灰色模型建立与分析

3.2.1灰色模型建立

项目从2011年9月21日~2013年10月1日对1栋6个观测点分别进行了68次观测，数据量较大。为了便于建模和分析，实验选取1T1观测点自2011年9月21日~2011年11月23日的11个观测数据，具体如表1所示。

在建立GM(1.1)模型时，以9月21日~11月8日的8个观测值作为原始序列X（0）={100.0000，100.0002，99.9998，99.9997，99.9992，99.9990，99.9989，99.9987}，根据（1）~（4）式，解算得到预测公式：

由预测公式可以得到2011年9月21日~2011年11月23日的11个预测值，如表1所示。图2为观测值和预测值的对比曲线。

表1 1T1点沉降数据表

 (Table 1 1T1-point settlement data sheet)

为了定量评价预测精度，采用残差检验的方法验证模型的合理性。残差检验的具体公式可参考文献[16]。通过计算得到相对平均误差，模型达到一级精度，模型精度可靠。但从图2和表1可以看出，在前8期残差保持在较低的范围且曲线拟合良好，但从后三期开始残差开始扩大，且曲线拟合也相较于前面变得较差。

图 2 1T1点的预测值与实际观测值曲线图

Fig. 2 The curve graph of 1T1 point predicted values and the actual observed values.

3.2.2多因素时间序列的灰色模型建立

为了修正残差，将多因素时间序列和灰色模型相结合，采用时间序列预测模型中的加权一次移动平均预测法建立多因素时间序列的灰色预测模型。模型计算公式如下：

                      （9）

其中，，为权值，n为移动平均的项数。考虑高层沉降规律和建筑物尚处于施工阶段，为此，将n设为3，，，。由公式（9）可以得到基于多因素时间序列的灰色模型的预测值，见表1，其拟合曲线如图2所示。

从图2和表1可以看出，采用本文方法比灰色模型可以得到更好的预测结果，预测值曲线和原始观测值曲线拟合非常好，尤其是对比了后3期预测数据与观测数据。因为前8期是由原始观测数据预测得到，而后3期则不是，因而后3期预测结果则更有代表性。结果表明，本文方法是一种具有高精度，且有效的预测方法。

4 结论

采用灰色建模对高层建筑的沉降预测能够得到较好的结果，但随着时间的推移，预测精度开始降低，残差不断扩大。为了修正残差，将多因素时间序列和灰色模型相结合，采用时间序列预测模型中的加权一次移动平均预测法建立多因素时间序列的灰色预测模型。以昆明市“XX花园”项目为实例，实验结果表明，本文方法优于灰色模型，是一种具有高精度，且有效的预测方法。    

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